Problema de los puentes de Königsberg

El problema de los puentes de Königsberg, también llamado más específicamente problema de los siete puentes de Königsberg, es un célebre problema matemático, resuelto por Leonhard Euler en 1736 y cuya resolución dio origen a la teoría de grafos. Su nombre se debe a Königsberg, el antiguo nombre que recibía la ciudad rusa de Kaliningrado, que durante el siglo XVIII formaba parte de Prusia Oriental, como uno de los ducados del Reino de Prusia.

Esta ciudad es atravesada por el río Pregolya, el cual se bifurca para rodear con sus brazos a la isla Kneiphof, dividiendo el terreno en cuatro regiones distintas, las que entonces estaban unidas mediante siete puentes llamados Puente del herrero, Puente conector, Puente verde, Puente del mercado, Puente de madera, Puente alto y Puente de la miel. El problema fue formulado en el siglo XVIII y consistía en encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad, pasando sólo una vez por cada uno de los puentes, y regresando al mismo punto de inicio.

Contextualización del problema

Leonhard Euler llegó a Prusia en 1741, a la edad de 34 años, donde vivió hasta 1766 para luego regresar a San Petersburgo. Durante esos años trabajó en la Academia Prusiana de las Ciencias, donde desarrolló una prolífera carrera como investigador. Euler fue contemporáneo a varios otros famosos matemáticos y pensadores procedentes de aquella ciudad, tales como Immanuel Kant, Johann Georg Hamann y Christian Goldbach, por lo que Königsberg fue en ese tiempo un importante epicentro científico.

Es en este ambiente y por estos años en que surge la formulación del problema de los puentes de Königsberg, propagándose a modo de juego y de trivia matemática entre los intelectuales de la época.

Análisis y solución del problema

Leonhard Euler (1707 - 1783), famoso matemático que resolvió el problema en 1736, dando origen a la teoría de grafos. Retrato de 1753.

El problema, formulado originalmente de manera informal, consistía en responder a la siguiente pregunta:

Dado el mapa de Königsberg, con el río Pregolya dividiendo el plano en cuatro regiones distintas, que están unidas a través de los siete puentes, ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, de modo de recorrerlas todas pasando sólo una vez por cada puente, y regresando al mismo punto de origen?

La respuesta es negativa, es decir, no existe una ruta con estas características. El problema puede resolverse aplicando un método de fuerza bruta, lo que implica probar todos los posibles recorridos existentes. Sin embargo, Euler en 1736 en su publicación «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» demuestra una solución generalizada del problema, que puede aplicarse a cualquier territorio en que ciertos accesos estén restringidos a ciertas conexiones, tales como los puentes de Königsberg.

Para dicha demostración, Euler recurre a una abstracción del mapa, enfocándose exclusivamente en las regiones terrestres y las conexiones entre ellas. Cada puente lo representó mediante una línea que unía a dos puntos, cada uno de los cuales representaba una región diferente. Así el problema se reduce a decidir si existe o no un camino que comience por uno de los puntos azules, transite por todas las líneas una única vez, y regrese al mismo punto de partida.

Demostración

Euler determinó, en el contexto del problema, que los puntos intermedios de un recorrido posible necesariamente han de estar conectados a un número par de líneas. En efecto, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por una línea diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir más de un único punto conectado con un número impar de líneas.

En particular, como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes (tres de ellos inciden en tres líneas, y el restante incide en cinco), entonces se concluye que es imposible definir un camino con las características buscadas.

Repercusiones

Esta abstracción del problema ideada por Euler dio pie a la primera noción de grafo, que es un tipo de estructura de datos utilizada ampliamente en matemática discreta y en ciencias de la computación. A los puntos se les llaman vértices y a las líneas aristas. Al número de aristas incidentes a un vértice se le llama el grado de dicho vértice. Específicamente, un diagrama como el de la abstracción del mapa de Königsberg representa un multigrafo no dirigido sin bucles.

En la teoría de grafos, existe un concepto llamado ciclo euleriano, llamado así justamente en honor a Leonhard Euler, que representa cualquier camino dentro de un grafo particular, capaz de recorrer todas las aristas una única vez, regresando finalmente al mismo vértice original. En coloración de grafos, una subárea de la teoría de grafos, la resolución de este problema constituye además el primer teorema de los grafos planares.

Por otra parte, la publicación de Euler es la primera que hace alusión a una geometría en que sólo interesan las propiedades estructurales de los objetos, y no sus medidas, como tradicionalmente se hace. El matemático llama a esta nueva manera de ver los objetos geométricos «geometriam situs», término que hoy se traduce como topología, área actual de la matemática cuyo origen directo puede situarse en la resolución de este problema.

El problema original en la actualidad

Dos de los siete puentes originales fueron destruidos por el bombardeo de Königsberg durante la Segunda Guerra Mundial. Otros dos fueron posteriormente demolidos y reemplazados por carreteras modernas. Los tres puentes restantes aún permanecen en pie, aunque sólo dos de ellos desde la época de Euler, pues uno fue reconstruido en 1935.

Por lo tanto, en la actualidad sólo existen cinco puentes en Kaliningrado, distribuidos de tal manera que ahora es posible definir un camino euleriano, es decir, una ruta que comienza en una isla y terminar en otra; pero no todavía un ciclo euleriano, es decir, que la ruta comience y termine en el mismo lugar, lo cual era necesario para cumplir con las condiciones iniciales del problema.